Question

Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
（1）求证：四边形CFGE是菱形；
（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证明△BMG≌△BMC，得出MC=MG，再由线段垂直平分线性质证出EC=EG，FG=FC，然后证明EC=FC，即可证出结论；
（2）先求出BC=BG=6，再求出AC=8，然后证明△AEG∽△ABC，得出比例式

AE

AB

=

AG

AC

，求出AE=5，EC=CF=3，最后根据面积公式得到

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，求出CD=

AC•BC

AB

=4.8．即可得出DF=CD-CF．

解答：解：（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：
∵BE是∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CG⊥BE，
∴∠3=∠4=90°，
在△BMG和△BMC中，

∠1=∠2   BM=BM   ∠3=∠4

，
∴△BMG≌△BMC（ASA），
∴MC=MG，
∴EC=EG，FG=FC，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠1=90°，
∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴EC=FC，
∴EC=EG=FG=FC，
∴四边形CFGE是菱形；
（2）根据题意得：△BEG≌△BEC，
∴BC=BG=6，∠BGE=∠BCA=90°，
∵AB=AG+BG=10，
∴AC=

102-62

=8，
∵∠A=∠A，∠ABG=∠BCA=90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AG

AC

，即

AE

10

=

4

8

，
∴AE=5．
∴EC=AC-AE=3，
∴CF=3，
∵

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=4.8，
∴DF=CD-CF=4.8-3=1.8．

点评：本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质以及勾股定理的运用等知识；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．