Question

12．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的中点，连接DE，并延长DE至点F，使EF=ED，连按AD，AF，BF，CF，线段AD与BF相交于点O，过点D作DG⊥BF，垂足为点G．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当AE=$\frac{1}{2}$DF时，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由；
（3）若∠CBF=2∠ABF，求证：AF=2OG．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AF∥BD，AF=BD即可．
（2）结论：四边形ADCF是矩形，只要证明∠DAF=90°即可．
（3）作AM⊥DG 于M，连接BM，先证明AM=2OG，再证明AM=AF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵点D，E分别是边BC，AC上的中点，
∴ED∥AB，AE=CE，
∵EF=ED，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是矩形．
理由：∵AE=$\frac{1}{2}$DF，EF=ED，
∴AE=EF=DE，
∴∠EAF=∠AFE，∠DAE=∠ADE，
∴∠DAF=∠EAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形；
∴四边形ADCF是矩形；

（3）证明：作AM⊥DG 于M，连接BM．
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OA=OD，∵OG∥AM，
∴GM=GD，
∴AM=2OG，
∵BG⊥DM，GM=GD，
∴BM=BD，
∴∠CBF=∠MBG，
∵∠CBF=2∠ABF，
∴∠ABM=∠ABF，
∵AM∥BF，
∴∠MAB=∠ABF，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM=BD=AF=2OG，
∴OG=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．