阅读下面材料:小胖遇到这样一个问题:如图所示.在四边形ABDE中.AE∥BD.∠B=45°.点C为BD中点.且AC⊥BD．过点E作EF⊥DE.交AB于点F．图中是否存在与EF相等的线段?若存在.请找出并加以证明.若不存在.说明理由．小胖通过探究发现.他所构造的全等三角形.其实就是将△AEF绕平面内某一点顺时针旋转90°.且点E的对应点为点D．(1)小胖发现的与EF相等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

阅读下面材料：
小胖遇到这样一个问题：
如图所示，在四边形ABDE中，AE∥BD，∠B=45°，点C为BD中点，且AC⊥BD．过点E作EF⊥DE，交AB于点F．图中是否存在与EF相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小胖通过探究发现，他所构造的全等三角形，其实就是将△AEF绕平面内某一点顺时针旋转90°，且点E的对应点为点D．
（1）小胖发现的与EF相等的线段是ED；
（2）根据小胖的想法，在图中补充相应的辅助线，进而证明小胖发现的结论．

分析（1）由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AD，作EM⊥AE，交AD于M，由线段垂直平分线的性质得出AB=AD，证出△AEM是等腰直角三角形，得出AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，证出∠AEF=∠MED，由ASA证明△EAF≌△EMD，得出对应边相等即可．

解答解：（1）小胖发现的与EF相等的线段是ED；
故答案为：ED；
（2）连接AD，作EM⊥AE，交AD于M，如图所示：
则∠AEM=90°，
∵AC⊥BD，点C为BD中点，
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠B=45°，
∴∠BAD=90°，
∵AE∥BD，
∴∠EAM=∠ADB=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE=ME，∠EAM=∠AME=45°，
∴∠EAF=90°+45°=135°=∠EMD，
又∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠MED，
在△EAF和△EMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠MED}&{\;}\\{AE=ME}&{\;}\\{∠EAF=∠EMD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EMD（ASA），
∴EF=ED．