Question

18．在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的⊙P过点C，若C的坐标为（0，2），AB=5，经过A、B、C三点的抛物线为y=ax²+bx+c．
（1）求点A、B的坐标及抛物线的解析式．
（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，交圆于点E．
①求证：PE⊥x轴；
②试求直线l对应的一次函数的解析式．
（3）过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则$\frac{1}{CM}$+$\frac{1}{CN}$的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结CP，在Rt△CPO中，求出OP=$\sqrt{{2.5}^{2}-{2}^{2}}$=1.5，进而求出A，B的坐标；然后利用待定系数法求出函数解析式；
（2）①根据CE平分∠ACB，得到E为弧AB的中点，根据垂径定理可知PE⊥x轴；
②求出E点坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
（3）过D作DQ⊥AC于E，DF⊥AC于F，根据△MDE∽△MNC，△DNF∽△MNC，得到$\frac{DE}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，$\frac{DF}{CM}$=$\frac{ND}{MN}$，从而求出$\frac{1}{CM}$+$\frac{1}{CN}$=$\frac{1}{DE}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

解答 解：（1）如图，连结CP，在Rt△CPO中，
OP=$\sqrt{{2.5}^{2}-{2}^{2}}$=1.5，
∴A（-4，0），B（1，0）；
设二次函数解析式为y=a（x-1）（x+4），
将C（0，2）代入上式得2=a（0-1）（0+4），
解得a=-$\frac{1}{2}$，
函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；

（2）①∵CE平分∠ACB，
∴E为弧AB的中点，
∴PE⊥x轴；
②∵E为弧AB的中点
∴E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
将C（0，2），E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）分别代入解析式y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}b=2\\-\frac{3}{2}k+b=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=3x+2．

（3）令y_l=0，得x=-$\frac{2}{3}$，
∴D（-$\frac{2}{3}$，0），
∴CD=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴∠DCF=45°，∠ACB=90°
∴DF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
过D作DQ⊥AC于Q，DF⊥AC于F，
∵CE平分∠ACB，
∴DQ=DF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
又∵△MDQ∽△MNC，△DNF∽△MNC，
∴$\frac{DQ}{CN}$=$\frac{MD}{MN}$，$\frac{DF}{CM}$=$\frac{ND}{MN}$，
∴$\frac{1}{CM}$+$\frac{1}{CN}$=$\frac{1}{DQ}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求函数解析式、圆的性质、垂径定理等知识，难度较大．