Question

10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab²+2ab+a．
如：1☆2=1×2²+2×1×2+1=9．
（1）求（-2）☆3的值；
（2）若（$\frac{a+1}{2}$☆3）☆（-$\frac{1}{2}$）=8，求a的值；
（3）若2☆x=m，（$\frac{1}{4}$x）☆3=n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的定义可以解答本题；
（2）根据题意可以将题目中的式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值；
（3）根据题意可以化简m、n，然后m与n作差即可解答本题．

解答 解：（1）∵a☆b=ab²+2ab+a，
∴（-2）☆3
=（-2）×3²+2×（-2）×3+（-2）
=（-2）×9+（-12）+（-2）
=（-18）+（-12）+（-2）
=-32；
（2）∵a☆b=ab²+2ab+a，
∴（$\frac{a+1}{2}$☆3）☆（-$\frac{1}{2}$）=8
∴（$\frac{a+1}{2}×{3}^{2}+2×\frac{a+1}{2}×3+\frac{a+1}{2}$）☆（-$\frac{1}{2}$）=8
∴（8a+8）☆（-$\frac{1}{2}$）=8
∴（8a+8）×$（-\frac{1}{2}）^{2}+2×（8a+8）×（-\frac{1}{2}）+（8a+8）$=8，
∴2a+2=8，
解得，a=3；
（3）∵2☆x=m，（$\frac{1}{4}$x）☆3=n，
∴m=2×x²+2×2×x+2=2x²+4x+2，
n=$\frac{1}{4}x×{3}^{2}+2×\frac{1}{4}x×3+\frac{1}{4}x$=4x，
∴m-n=（2x²+4x+2）-4x=2x²+2≥2＞0，
∴m＞n．

点评 本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．