Question

20．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠ACD=90°．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米200元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状即可；
（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以200，即可求总花费．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，
∵CD=12m，DA=13=4m，∠ACD=90°，
∴AC=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5m，
在△ABC中，
∵AC=5m，AB=3m，BC=4m
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×5×12=30，
∴S_{四边形ABCD}=6+30=36，
∴费用=36×200=7200（元）．

点评 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．