Question

19．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=$\frac{2}{3}$．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，即可得出结论；
（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，
∵CD=$\frac{2}{3}$，CP=BC-BP=x-1，BP=1，
即$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{\frac{2}{3}}$，
解得：AB=3．
即△ABC的边长为3．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．