Question

1．如图，以Rt△OBC的直角边OB为半径作⊙O，点D、E都在⊙O上，且∠ADE=∠OCB，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线．
（2）线段CO与⊙O交于点F，若F点为CO的中点，连接EO、EF、BF，试判断四边形BOEF的形状．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据圆周角定理得到∠AOE=2∠D，得到∠AOE=2∠BCO，根据三角形的内角和得到∠BCO+∠BOC=90°，推出∠BOC=∠EOC，根据全等三角形的性质得到∠OEC=∠OBC=90°，即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到EF=BF=OF，由于OB=OE=OF．等量代换得到OB=OE=EF=BF，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接OE，
∴∠AOE=2∠D，
∵∠D=∠BCO，
∴∠AOE=2∠BCO，
∵∠OBC=90°，
∴∠BCO+∠BOC=90°，
∴2∠BCO+2∠BOC=180°，
∴∠AOE+2∠BOC=180°，
∵∠AOE+∠EOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=∠EOC，
在△BOC与△EOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OE}\\{∠BOC=∠EOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EOC，
∴∠OEC=∠OBC=90°，
∴OE⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBC=∠OEC=90°，F点为CO的中点，
∴EF=BF=OF，
∵OB=0E=OF．
∴OB=OE=EF=BF，
∴四边形BOEF是菱形．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判断和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．