Question

13．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 不能确定

Answer 1

分析 根据已知条件推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=$\frac{1}{2}$AC即可．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，
又∵PE⊥AF，
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF；（等边三角形三线合一）
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；
又∵PA=PF=CQ，
在△PFD和△QCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠CDQ}\\{∠PFD=∠DCQ}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$CF；
∴DE=DF+FE=$\frac{1}{2}$（AF+FC）=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
故选B．

点评 本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．