Question

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-ax+3交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且A、B两点之间的距离为5．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P在第一象限内的抛物线上，连接PA，交y轴于点D，连接PC，若∠APC=2∠PAB，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在第二象限内的抛物线上，连接BQ，过点P作PM⊥BQ于点G，交y轴于点M，连接PQ、MQ，若PQ=DM，求Q点的坐标及tan∠PMQ的值．

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线对称轴，确定出点E坐标，从而求出点A，B坐标，用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先用锐角三角函数得出$\frac{CH}{PH}=\frac{PF}{AF}$，设出点P坐标，建立方程求出点P的坐标，即可；
（3）先判断出∠PQG=∠DMN，从而得出PQ∥x轴，求出点Q坐标，进而求出DL，ML，即可．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-ax+3，
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
设对称轴交x轴于点E，则E（$\frac{1}{2}$，0），
∵AB=5，
∴AE=BE=$\frac{5}{2}$，
∴A（-2，0），B（3，0），
∴4a+2a+3=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，
（2）如图2，

过P作PF⊥x轴于点F，作PH⊥y轴于H，
∴∠APH=∠PAB，
∵∠APC=2∠PAB，
∴∠APH=∠CPH=∠PAB，
∴tan∠CPH=tan∠PAB，
∴$\frac{CH}{PH}=\frac{PF}{AF}$，
设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+3），
∴$\frac{3-（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+3）}{t}$=$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+3}{t+2}$，
∴t=-2（舍）或t=2，
∴P（2，2），
（3）如图3，

由（2）有，D（0，1），
过B作BK⊥PH于K，过D作DN⊥PM于N，
∵P（2，2），H（0，2），B（3，0），
∴PH=BK=2，DH=PK=1，∠K=∠PHD=90°，
∴△PHD≌△BKP，
∴DP=BP，
∵∠DPB=90°，
∴△DNP≌△PGB，
∴DN=PG，
∵PQ=DM，∠PGQ=∠DNM=90°，
∴RT△PGQ≌RT△DNM
∴∠PQG=∠DMN，
∵∠DMN=∠OBH，
∴∠PQG=∠OBH，
∴PQ∥x轴，
∴Q的纵坐标为2，
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=2，
∴x=2（舍）或x=-1，
∴Q（-1，2），
设BQ交y轴于点L，
∵B（3，0），
∴直线BQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴L（0，$\frac{3}{2}$），
∴DL=$\frac{1}{2}$，
∵MD=PQ=3，
∴ML=$\frac{7}{2}$，
∴tan∠PMQ=$\frac{QG}{MG}=\frac{MN}{MG}=\frac{MD}{ML}$=$\frac{3}{\frac{7}{2}}$=$\frac{6}{7}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键是求出点P坐标，用方程的思想解决问题是本题的难点．