Question

8．如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，求证：AO⊥BC．

Answer 1

分析 延长AO交BC于点F，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再根据“SAS”判断△BCE≌△CBD，则∠DBC=∠ECB，根据等腰三角形的判定得OB=OC，然后根据“SSS”可判断△ABO≌△ACO，则∠BAO=∠CAO，然后根据等腰三角形“三线合一”即可得到AF⊥BC，得出结论．

解答 证明：如图，

延长AO交BC于点F，∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBD（SAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC，
在△ABO和△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AF⊥BC，
即AO⊥BC．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．