Question

19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为81．

Answer 1

分析 根据切线的性质得到AD=AM，CM=CN=r，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB²=AC²+BC²，于是得到AD•DB=$\frac{1}{2}$AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE²=81，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AD•DB=AM•BN=（AC-r）（BC-r）=[AC-$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）][BC-$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）]
=$\frac{1}{4}$（AC-BC+AB）（AB+BC-AC）=$\frac{1}{4}$（AB²-AC²-BC²+2AC•BC）=$\frac{1}{2}$AC•BC，
由射影定理得AD•DB=DE²=81，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=81，
故答案为：81．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．