Question

1．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是AC边中点，∠ACB的平分线交BE于M交AB于N，过点A作AD∥CN交BE延长线于D，在AB上截取AF=CM，连接CF．
（1）求证：∠ACF=∠CBM；
（2）若CF=16，求DE．

Answer 1

分析 （1）证明△ACF≌△CBM，根据全等三角形的性质定理解答；
（2）根据平行线的性质得到$\frac{AN}{BN}$=$\frac{DM}{BM}$，求出DM，计算即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAF=45°
又∵CN平分∠ACB
∴∠BCM=$\frac{1}{2}$∠ACB=QUOTE 45°=∠CAF
在△ACF和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CM}\\{∠CAF=∠BCM}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBM （SAS）
∴∠ACF=∠CBM；
（2）由（1）可知BM=CF=16
∵CM平分∠ACB   AC=BC
∴AN=BN
∵AD∥CN
∴$\frac{AN}{BN}$=$\frac{DM}{BM}$=1，
∴DM=BM=16
∵E是AC中点，
∴AE=EC
∵AD∥CN，
∴$\frac{DE}{EM}$=$\frac{AE}{CE}$=1，
∴DE=8．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．