Question

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如果抛物线与x轴只有唯一的公共点，请确定m的取值范围．
（3）若该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线y=-2x+2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；
（2）根据一元二次方程的根的判别式进行解答；
（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．

解答 解：（1）当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2），
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2m}{2m}$=1，
∴B（1，0）；

（2）抛物线与x轴只有一个公共点，所以△=b²-4ac=（-2m）2-4•m•（-2）=8m²+4m=0
解得，m₁=0，m₂=-2．
根据题意，m=-2；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，
所以，抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x²-4x-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键．