Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以AC为斜边作Rt△ACC₁，使∠CAC₁=30°，Rt△ACC₁的面积为S₁；再以AC₁为斜边作△AC₁C₂，使∠C₁AC₂=30°，Rt△AC₁C₂的面积记为S₂，…，以此类推，则S_n=$\frac{{3}^{n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 首先计算得出△ABC₁的面积，进一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt△AC₁C₂和Rt△AC₂C₃的面积，找出规律得出结论．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=2$\sqrt{3}$，
在△ABC₁中，
∵∠CAC₁=30°，
∴CC₁═$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠BAC=∠CAC₁，∠ACB=∠AC₁C=90°，
∴△ACB∽△AC₁C，
∴$\frac{{S}_{△AC{C}_{1}}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{C{C}_{1}}{CB}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
∴S₁=$\frac{3}{4}$•S_△ABC，同理可得，S₂=$\frac{3}{4}$•S₁=（$\frac{3}{4}$）²•S_△ABC，S₃=（$\frac{3}{4}$）³•S_△ABC，…
根据此规律可得，S_n=（$\frac{3}{4}$）ⁿ•S_△ABC=$\frac{{3}^{n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$，
故答案为$\frac{{3}^{\\;n}•\sqrt{3}}{{2}^{2n-1}}$．

点评 此题考查勾股定理、含30°角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会找规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．