Question

5．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的图形，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为2，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是32$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建三角形和高线，利用面积差求△ABC的面积；根据正六边形的边长为2，每个内角都为120°及正六边形的性质求出△AEC和△BEC的底边和高线，利用面积公式得出结论．

解答 解：延长AB，交格点于E，连接EC，分别过A、B作EC的垂线段AF、BD，垂足分别为F、D，
∵每个正六边形的边长为2，
∴CE=2×4=8，AE=5×2=10，
∵∠AEC=60°，
∴sin60°=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{BD}{6}=\frac{AF}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{3}$，AF=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_△AEC-S_△BEC，
=$\frac{1}{2}$EC•AF-$\frac{1}{2}$EC•BD，
=$\frac{1}{2}$EC（AF-BD），
=$\frac{1}{2}$×8×（5$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$），
=8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正六边形，做好本题的关键是熟练掌握正六边形的有关概念：①正六边形的半径与边组成等边三角形．②中心角：正六边形每一边所对的圆心角叫做正六边形的中心角，它的中心角=360°÷6=60°．③边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正六边形的边心距．