Question

14．已知关于x的一元二次方程x²-2kx+$\frac{1}{2}$k²-2=0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）设x₁，x₂是方程的根，且x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5，则k的值．

Answer 1

分析 （1）先计算出判别式得到△=2k²+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）先利用方程解得定义得到x₁²-2kx₁=-$\frac{1}{2}$k²+2，根据根与系数的关系得到x₁x₂=$\frac{1}{2}$k²-2，则-$\frac{1}{2}$k²+2+2•（$\frac{1}{2}$k²-2）=5，然后解关于k的方程即可．

解答 （1）证明：△=（-2k）²-4（$\frac{1}{2}$k²-2）
=2k²+8＞0，
所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵x₁是方程的根，
∴x₁²-2kx₁+$\frac{1}{2}$k²-2=0，
∴x₁²-2kx₁=-$\frac{1}{2}$k²+2，
∵x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5，x₁x₂=$\frac{1}{2}$k²-2，
∴-$\frac{1}{2}$k²+2+2•（$\frac{1}{2}$k²-2）=5，
整理得k²-14=0，
∴k=±$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．