正方形ABCD边长为4.M.N分别是BC.CD上的两个动点.当M点在BC上运动时.保持AM和MN垂直．(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN,(2)设BM=x.梯形ABCN的面积为y.求y与x之间的函数关系式,(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN.求x的值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

分析（1）欲证明Rt△ABM∽Rt△MCN，只要证明∠BAM=∠CMN即可．
（2）由△ABM∽△MCN，$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，求出CN，根据梯形面积公式即可解决问题．
（3）由Rt△ABM∽Rt△AMN，得$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，由（1）知

，推出

，推出BM=MC，由此解决问题．

解答（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAM∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）解：∵△ABM∽△MCN
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，
∴$\frac{4}{4-x}=\frac{x}{CN}$，
∴CN=$\frac{4x-{x}^{2}}{4}$
∴y=$\frac{1}{2}$（AB+CN）•BC
=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8．（0＜x＜4）

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有