Question

17．如图，△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E．
（1）如果∠C=80°，求∠BPA的度数．
（2）求证：DE=BD+AE．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PAB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（2）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDP和△AEP是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DP，AE=EP，于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC+∠C+∠CAB=180°，∠C=80°，
∴∠ABC+∠CAB=100°．
∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PAB=$\frac{1}{2}$∠CAB．
∴∠PBC+∠PAB=$\frac{1}{2}$（∠CBA+∠CAB）=50°．
∵∠PBA+∠PAB+∠BPA=180°，
∴∠BPA=180°-50°=130°；

（2）证明：∵BP平分∠CBA，
∴∠DBP=∠ABP，
∵DE∥AB，
∴∠DPB=∠ABP，
∴∠DBP=∠DPB，
∴BD=PD，
同理可得PE=EA，
∴DE=DP+PE=BD+AE．

点评 本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．