Question

15．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB时，求点B的坐标；
（2）如图②，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C；
①当x=0时，求tan∠BAC的值；
②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当点C在什么位置时tanα的值最大？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABE中，根据勾股定理得到AE²+BE²=AB²，即可得到结论；
（2）①由点C（x，0），当x=0时，点C与O重合，如图②，设直线x=-1与x轴交于G，过A作AF⊥x轴于F，通过△AOF∽△OBG，得到BO：AO=OG：AF=1：4，于是得到tan∠BAC=$\frac{1}{4}$，②设直线x=-1与x轴交于G，过A作AH⊥直线x=-1于H，AF⊥x轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH=α，由三角函数的定义得到tanα=$\frac{4}{BH}$，根据相似三角形的性质得到比例式$\frac{y}{x-3}=\frac{x+1}{4}$，于是得到y=-$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图①，过A作AE⊥直线x=-1于E，
在Rt△ABE中，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（4-y）²+4²=5²；
解得y=1或7，
∴B（-1，1）或B（-1，7）；

（2）①∵点C（x，0），当x=0时，点C与O重合，如图②，设直线x=-1与x轴交于G，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠BGO=∠AOB=∠AFO=90°，
∴∠GBO+∠BOG=∠BOG+∠AOF=90°，
∴∠GBO=∠AOF，
∴△AOF∽△OBG，
∴BO：AO=OG：AF=1：4，
∴tan∠BAC=$\frac{1}{4}$，
②如图③，设直线x=-1与x轴交于G，过A作AH⊥直线x=-1于H，AF⊥x轴于F，
∵BE∥y轴，
∴∠ABH=α，
在Rt△ABE中，tanα=$\frac{4}{BH}$，
∵tanα随BH的增大而减小，
∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值，
由（1）证得△ACF∽△CBG，
∴$\frac{BG}{CF}=\frac{CG}{AF}$，即$\frac{y}{x-3}=\frac{x+1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
当x=1时，y_max=1，
即当C（1，0）时，tanα有最大值$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．