题目内容
7．如图1，在等边△ABC中，点M从点B出发沿射线BC方向运动，在点M运动的过程中，连接AM，并以AM为边在射线BC上方作等边△AMN，连接CN．（1）当M点运动到线段BC的中点时，∠CAM=30°；
（2）当点M运动到线段BC（不含端点B、C）之间时，求证：CN∥AB；
（3）如图2，当点M运动到BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，猜测（2）中结论CN∥AB还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
分析 （1）利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
（2）利用等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，进而得出∠BAM=∠CAN，即可判断出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，进而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵BM=CM，
∴AM平分∠BAC，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
故答案为30．
（2）证明：∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB，
（3）成立，
理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等式的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解本题的关键是用等式的性质得出∠BAM=∠CAN借助（1）的方法解决（2），是一道中等难度的中考常考题．
已知正比例函数y=mx与一次函数y=ax+b的图象交于点A（1，3）；
如图，在△ABC中，已知边AC的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD，若BC=5，AB=3，则△ABD的周长为8．