Question

17．如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点．
（1）求证：CE=$\sqrt{2}$CM；
（2）若△PBE绕B点旋转一个锐角，问以上结论是否成立，并画图证明．

Answer 1

分析 （1）将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△CAF，连接EF与直线PA交于点M′，连接PF，只要证明△ECF是等腰直角三角形，EM=MF即可．
（2）证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△CAF，连接EF与直线PA交于点M′，连接PF，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=∠CAF=45°，
∵EP=EB，∠PEB=90°，∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°，
∴∠FAB=∠PEB，
∴FA∥PE，
∵FA=BE-PE，
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴AM′=M′P，FM′=M′E，
∴点M与点M′重合，
∵CE=CF，∠ECF=90°，FM=EM，
∴CM=MF=ME，∠MCE=∠MEC=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$CM．
（2）结论仍然成立．
证明：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△CAF，连接EF与直线PA交于点M′，连接PF，AB与PE交于点K．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=∠CAF=45°，
∵EP=EB，∠PEB=90°，∠FAB=∠CAF+∠CAB=45°+∠CAB，
∠PKB=∠PEB+∠EBK=90°+∠EBK=45°+（45°+∠EBK）=45°+∠CBE，
又∵∠CAF=∠CBE，
∴∠PKB=∠FAB，
∴FA∥PE，
∵FA=BE-PE，
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴AM′=M′P，FM′=M′E，
∴点M与点M′重合，
∵CE=CF，∠ECF=90°，FM=EM，
∴CM=MF=ME，∠MCE=∠MEC=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$CM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造平行四边形以及全等三角形，属于中考常考题型．