题目内容
7．已知，在△ABC中，AB=AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M．猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD=CE，则线段DM、EM的大小关系为相等．
探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD=CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD=1，CE=4，DM=0.7．则EM的长为2.8．
分析 （1）如图1中，作EF∥AB交BC于F，只要证明△BDM≌△FEM即可．
（2）如图2中，作EF∥AB交CB的延长线于F，只要证明△BDM≌△FEM即可．
（3）如图3中，作EF∥AB交CB的延长线于F，由BD∥EF得$\frac{BD}{EF}=\frac{MD}{ME}$，再证明EF=EC即可．
解答 （1）如图1中，猜想：DM=EM．
理由：作EF∥AB交BC于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
故答案为DM=EM．
（2）结论DM=EM．
理由：如图2中，作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FEM}\\{∠BMD=∠EMF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
（3）如图3中，作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠F=∠C，
∴EF=CE=4，
∵BD∥EF，
∴$\frac{BD}{EF}=\frac{MD}{ME}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{0.7}{EM}$，
∴EM=2.8，
故答案为2.8．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形以及等腰三角形，属于中考常考题型．
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如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为125cm．
如图，直线a、b被直线c、d所截．若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的大小为55°．
（1）已知∠α和线段m，h，用直尺和圆规作?ABCD，使AB=m，∠DAB=∠α，AB和CD之间的距离为h（作出图形，不写作法，保留痕迹）