[原题再现]课本第81页课内练习第1题:如图.在△ABC中.D为BC边上一点.DB=DC.DE⊥AB于点E.DF⊥AC于点F.且DE=DF.求证:AB=AC．[探究思考]同学们完成这道题目后.在老师的启发下对问题进行了反思探究.提出了如下思考:①把题中的条件“DB=DC 和结论“AB=AC 互换得到的命题是否成立?②题中的“D为BC上一点改为“D为△ABC内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．

【原题再现】课本第81页课内练习第1题：如图，在△ABC中，D为BC边上一点，DB=DC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF，求证：AB=AC．
【探究思考】
同学们完成这道题目后，在老师的启发下对问题进行了反思探究，提出了如下思考：
①把题中的条件“DB=DC”和结论“AB=AC”互换得到的命题是否成立？
②题中的“D为BC上一点”改为“D为△ABC内部一点”，是否仍能得到AB=AC？
【问题解决】
（1）请你对上述两个问题作出判断，直接在横线上写“是”或“否”；
（2）选择其中一个问题画出图形，并说明理由．

分析 ①连接AD，由三线合一性质证得AD平分∠BAC，由角平分线上的性质即可得的结论；
②证得Rt△BDE≌Rt△CDF，推出∠EBD=∠FCD，DB=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠DCB，由等式的性质∠ABC=∠ACB，由等腰三角形的判定即可得到结论．

解答解：（1）是，
理由：如图1，连接AD，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）是，
理由：如图2，在Rt△BDE和Rt△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{ED=FD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠EBD=∠FCD，DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，

点评本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．

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