Question

6．己知：⊙O与直线MN相切于A点，弦BC∥MN，直线MB与⊙O相交于D点，MC与⊙O相交于E，DE的延长线交MN于F点．求证：AF=FM．

Answer 1

分析 先证△FME∽△FDM可得$\frac{FM}{FD}$=$\frac{FE}{FM}$，即FM²=FE•FD，再由FA是⊙O的切线、FD是⊙O的割线，根据切割线定理可得FA²=FE•FD，从而即可得答案．

解答 证明：∵BC∥MN，
∴∠FME=∠C，
又∵∠C=∠D，
∴∠FME=∠D，
∵∠MFE=∠DFM，
∴△FME∽△FDM，
∴$\frac{FM}{FD}$=$\frac{FE}{FM}$，即FM²=FE•FD，
∵FA是⊙O的切线，FD是⊙O的割线，
∴FA²=FE•FD，
∴FM²=FA²，
∴AF=FM．

点评 本题主要考查切割线定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握切割线定理是解题的关键．