Question

17．如图，AB为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，BF⊥CF于点F，点D在⊙O上，CD交AB于点E，∠BCE=∠BCF．
（1）求证：弧AC=弧AD；
（2）点G在⊙O上，∠GCD=∠FCD，连接DO并延长交CG于点H，求证：CH=GH；
（3）在（2）的条件下，连接AG，AG=3，CF=2$\sqrt{13}$，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接半径，根据切线的性质得出垂直，与已知BF⊥FC，得BF∥OC，所以∠BEC=∠BFC=90°，由垂径定理得：弧AC=弧AD；
（2）如图2，根据同圆半径相等得∠OCD=∠D，由切线的性质得∠FCD+∠OCD=90°，根据等量代换得：
∠DCG+∠D=90°，所以∠DHC=90°，由垂径定理得CH=HG；
（3）如图3中，延长GA到M，使得AD=AM，连接DM，延长CG到N，使得GN=GD，连接AN，作DJ⊥AM于J．首先证明△CAD≌△MAD，得AM=AC，DM=CD=DG，同理可得GN=DG，AN=AD=AC，再证明DM²-DA²=（DJ²+JM²）-（DJ²+AJ²）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AM•AG，求出AD，同理可得AN²-AG²=GN•CG，延长即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1，连接OC，

∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∵BF⊥FC，
∴BF∥OC，∠BFC=90°，
∴∠OCB=∠FBC，
∴∠OBC=∠FBC，
∵∠BCE=∠BCF，
∴△FBC∽△EBC，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
∴OB⊥DC，
∴弧AC=弧AD；

（2）如图2，连接OC．

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠D，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠FCD+∠OCD=90°，
∵∠FCD=∠DCG，
∴∠DCG+∠D=90°，
∴∠DHC=90°，
∴DH⊥CG，
∵DH经过圆心O，
∴CH=HG．

（3）如图3中，延长GA到M，使得AD=AM，连接DM，延长CG到N，使得GN=GD，连接AN，作DJ⊥AM于J．

∵CE=CF=2$\sqrt{13}$，
∴CD=2$\sqrt{13}$，
∵DC=DG，AC=AD，
∵∠DAM=∠DCG=∠CAD，
∴△CAD≌△MAD，
∴AM=AC，DM=CD=DG，
同理可证GN=DG，AN=AD=AC，
∵DM²-DA²=（DJ²+JM²）-（DJ²+AJ²）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AM•AG，
∴（4$\sqrt{13}$）²-AD²=AD•3，
j解得AD=13，
同理在等腰三角形△NAC中可得AN²-AG²=GN•CG，
∴169-9=4$\sqrt{13}$•CG，
∴CG=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形、基本结论，属于中考压轴题．