Question

2．已知抛物线c₁：y=ax²+bx+c的顶点为（2，-4），且开口向上，形状和抛物线c₂：y=（$\sqrt{m-2}$+1）x²+$\sqrt{2-m}$x+2015m相同，直线y=kx-4交抛物线y=ax²+bx+c于A，B两点．
（1）请你直接写出抛物线c₁的解析式；
（2）若△AOB的外心正好在线段AB上，求k的值；
（3）已知点M为直线y=kx-4上的一个定点，N点为为抛彻线c₁上的点，Q为线段MN的中点，设点N在执物线c₁上运动时，Q的运动轨迹为c₃，求c₃的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据根式有意义的条件求出m的值，再根据抛物线c₁和抛物线c₂形状相同，开口向上，即可解决问题．
（2）如图1中，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．首先判断△AOB是直角三角形，由△AOM∽△OBN，得$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{2}}$，解x₁•x₂+y₁•y₂=0，由
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$消去y得x²-（4+k）x+4=0，得x₁+x₂=4+k，x₁•x₂=4，y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=-16k+16，列出方程即可解决问题．
（3）首先确定定点M的坐标，设N（m，m²-4m），得线段MN中点Q坐标为（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}-4m-4}{2}$），根据纵坐标y=$\frac{1}{2}$m²-2m-2=2•（$\frac{m}{2}$）²-4•$\frac{m}{2}$-2，横坐标x=$\frac{m}{2}$，由此即可写出C₃的轨迹．

解答 解：（1）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{m-2≥0}\\{2-m≥0}\end{array}\right.$，解得m=2，
∴抛物线C₂解析式为y=x²+4030，
∵抛物线c₁：y=ax²+bx+c的顶点为（2，-4），且开口向上，形状和抛物线c₂相同，
∴a=1，
∴抛物线C₁解析式为y=（x-2）²-4=x²-4x．
即抛物线C₂解析式为y=x²-4x．

（2）如图1中，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

∵△AOB的外心正好在线段AB上，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，
∴∠AOM=∠OBN，∵∠OMA=∠ONB=90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，
∴$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$消去y得x²-（4+k）x+4=0，
∴x₁+x₂=4+k，x₁•x₂=4，y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=-16k+16，
∴4+（-16k+16）=0，
∴k=$\frac{5}{4}$．

（3）如图2中，

∵M为直线y=kx-4上的一个定点，
∴点M坐标（0，-4），设N（m，m²-4m），
∴线段MN中点Q坐标为（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}-4m-4}{2}$），
∵纵坐标y=$\frac{1}{2}$m²-2m-2=2•（$\frac{m}{2}$）²-4•$\frac{m}{2}$-2，横坐标x=$\frac{m}{2}$，
∴点Q的运动轨迹C₃为y=2x²-4x-2，
∴C₃的解析式为y=2x²-4x-2．

点评 本题考查二次函数的综合题、根式的性质、中点坐标公式、相似三角形的判定和性质、根与系数关系等知识，解题的关键是灵活应用一元二次方程的根与系数关系，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．