题目内容
11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交直线BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系：AF与BE的数量关系是AF=BE；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求$\frac{AF}{BE}$的值；
（3）如图3，若四边形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，请你补全图形，并直接写出：$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）（用含α，β的式子表示）．
分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，根据余角的性质得到∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论；
（3）根据垂直的定义得到∠AGB=∠AOB=90°，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠GAO=∠GAO，推出△AOF∽△BOE，即可得到结论．
解答 解：（1）AF=BE；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO与△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；
故答案为：AF=BE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$；
（3）如图3，∵AG⊥BE，AC⊥BD，
∴∠AGB=∠AOB=90°，
∴A，G，B，O四点共圆，
∴∠GAO=∠GAO，
∴∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=∠ABC-∠OBC=α-β，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan（α-β），
∴$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）．
故答案为：tan（α-β）．
点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，熟记定理是解题的关键．
名校课堂系列答案| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
如图是一枚六面体骰子的展开图，则掷一枚这样的骰子，朝上一面的数字是朝下一面的数字的3倍的概率是（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
