Question

如图，在同一平面直角坐标系中有4个点：A（1，0），B（5，0），C（2，3），D（1，2）．
（1）画出△ABC的外切圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）判断直线OD与⊙P的位置关系，说明理由；
（3）计算sin∠ACB的值；
（4）若在y轴上有一动点Q，当|QC-QD|最小时，点Q的坐标为

 

，当QC+QD最小时，点Q的坐标为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先确定圆心点P，画圆即可．
（2）直线OD与⊙P相切．连接OD，DP，OP，求出OD，DP，OP的值，利用勾股定理的逆定理可得△ODP是直角三角形，即可得出直线OD与⊙P相切．
（3）利用∠ACB=∠ADB，求sin∠ACB即可，
（4）①连接CD作CD的中垂线交y轴于点Q，此时|QC-QD|=0最小；②作点D关于y轴的对称点D′，连接D′C交y轴于点Q，此时QC+QD最小，分别求解得出Q的坐标即可．

解答：解：（1）如图1，点D在⊙P上，

（2）直线OD与⊙P相切．
理由如下：
如图2，连接OD，DP，OP，

OP=

10

，OD=

5

，DP=

5

，
∵（

5

）²+（

5

）²=（

10

）²，
∴OD²+DP²=OP²，
∴△ODP是直角三角形，
∴∠ODP=90°，
∴直线OD与⊙P相切．
（3）∵∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACB=sin∠ADB=

AB

BD

=

4

20

=

2 5

5

．
（4）①连接CD作CD的中垂线交y轴于点Q，此时|QC-QD|=0最小，点Q的坐标为（4，0）

②作点D关于y轴的对称点D′，连接D′C交y轴于点Q，此时QC+QD最小，

∵点D（1，2），
∴D′（-1，2），
设CD′所在的直线的解析式为y=kx+b，把D′（-1，2），C（2，3），代入得

-k+b=2 2k+b=3

，
解得

k= 1 3 b= 7 3

，
∴CD′所在的直线的解析式为y=

1

3

x+

7

3

，
当x=0时，y=

7

3

，
∴Q（

7

3

，0）．
故答案为：（4，0），（

7

3

，0）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．