题目内容
4．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同速度运动，点N到达点C时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为保值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG能在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
分析 （1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t；
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积；
（3）分两种情况，分别是DP=PC时和DC=PC时，分别EN的长度便可求出t的值．
解答 解：由∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
易知：AB=8cm，BD=4cm，AC=8$\sqrt{3}$cm，DC=12cm，AD=4$\sqrt{3}$cm．
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD-BE=3cm
∴t=$\frac{3}{1}$s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1cm的正方形，令H点在AB上，则
∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm，
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$s，
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AD=AH+DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x=4$\sqrt{3}$，
∴x=6$\sqrt{3}$-6，
当$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤4时，SMNGH=1cm2
当4＜t≤6$\sqrt{3}$-3时，SMNGH=（t-3）2cm2
故S关于t的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{1（\frac{\sqrt{3}}{3}≤t≤4）}\\{（t-3）^{2}（4＜t≤6\sqrt{3}-3）}\end{array}\right.$；
（3）分两种情况：
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，
∴MN=6cm，
∴EN=3cm+6cm=9cm，
∴t=9s，
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；
②当DC=PC时，DC=PC=12cm，
∴NC=6$\sqrt{3}$cm，
∴EN=16cm-1cm-6$\sqrt{3}$cm=（15-6$\sqrt{3}$）cm，
∴t=（15-6$\sqrt{3}$）s，
故当t=（15-6$\sqrt{3}$）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s或t=（15-6$\sqrt{3}$）s时，△CPD为等腰三角形．
点评 本题考查了学生对相似三角形和勾股定理的理解和运用，此题涉及到的知识点较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．
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某校七年级有200名学生参加了全国中小学生安全知识竞赛初赛，为了了解本校初赛的成绩情况，从中抽取了50名学校，将他们的初赛成绩（得分为整数，满分100分）分成五组：
如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（ ）| A． | 200tan20°米 | B． | $\frac{200}{sin20°}$米 | C． | 200sin20°米 | D． | 200cos20°米 |
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