Question

13．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：$\sqrt{3}$，求旗杆AB的高度（$\sqrt{3}≈1.7$，结果精确到个位）．

Answer 1

分析 延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．构建直角△DEF和直角△CDF．通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可．

解答 解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．
∵i=tan∠DCF=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCF=30°．
又∵∠DAC=15°，
∴∠ADC=15°．
∴CD=AC=10．
在Rt△DCF中，DF=CD•sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5（米），
CF=CD•cos30°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，∠CDF=60°．
∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，
∴∠E=120°-90°=30°，
在Rt△DFE中，EF=$\frac{DF}{tanE}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=5$\sqrt{3}$
∴AE=10+5$\sqrt{3}$+5$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$+10．
在Rt△BAE中，BA=AE•tanE=（10$\sqrt{3}$+10）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=10+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≈16（米）．
答：旗杆AB的高度约为16米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．