Question

18．已知x²+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=10，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）²+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（a+3），x₁x₂=a+1，再利用完全平方公式由x₁²+x₂²=10得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，则（a+3）²-2（a+1）=10，然后解关于a的方程即可．

解答 （1）证明：△=（a+3）²-4（a+1）
=a²+6a+9-4a-4
=a²+2a+5
=（a+1）²+4，
∵（a+1）²≥0，
∴（a+1）²+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x₁+x₂=-（a+3），x₁x₂=a+1，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴（a+3）²-2（a+1）=10，
整理得a²+4a-3=0，解得a₁=-2+$\sqrt{7}$，a₂=-2-$\sqrt{7}$，
即a的值为-2+$\sqrt{7}$或-2-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．