Question

20．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；
（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF（BF⊥直线l，BC=CF）．点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点 为C．点N从F点出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F．点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动．设运动时间为t秒，请求出所有使△MDC与△CEN全等的t的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得到∠DAC=∠ECB，根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）分点N沿F→C路径运动、点N沿C→B路径运动、点N沿B→C路径运动、点N沿C→F路径运动四种情况计算即可．

解答 解：（1）△ACD≌△CBE，
理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥直线l，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠CEB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE；
（2）由题意得，CF=BC=6cm，
由（1）得，∠DAC=∠ECB，∠ADC=∠CEB，
∴当CM=CN时，△MDC≌△CEN，
当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1，不合题意，
当点N沿C→B路径运动时，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N沿B→C路径运动时，8-t=3t-12，
解得，t=5，
当点N沿C→F路径运动时，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC≌△CEN．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．