Question

7．在△ABC中，AB=BC，AD是BC边上的中线，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长．

Answer 1

分析 分“AB+BD=3，AC+CD=4”和“AB+BD=4，AC+CD=3”两种情况考虑，根据等腰三角形的性质可得出BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，由此得出BD=$\frac{1}{3}$（AB+BD）=CD，代入AB+BD得值即可得出AB，再结合AC+CD的值可得出AC的长度，利用三角形三边的关系验证后即可得出结论．

解答 解：分两种情况：
①AB+BD=3，AC+CD=4（如图1），
∵BD=DC，AB=BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=$\frac{1}{3}$（AB+BD）=CD=1，
∴AB=BC=2，AC=4-CD=3，
∵任意两边之和大于第三边，
∴三角形成立，AC=3；
②AB+BD=4，AC+CD=3（如图2），
∵BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=$\frac{1}{3}$（AB+BD）=CD=$\frac{4}{3}$，
∴AC=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，AB=BC=$\frac{8}{3}$，
∵任意两边之和大于第三边，
∴三角形成立，AC=$\frac{5}{3}$．
综上可知：AC边的长为3或$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，根据等腰三角形的性质找出边与边之间的关系是解题的关键．