Question

16．如图，已知直线y=-$\frac{2}{3}$x+2与x轴、y轴分别相交于点B、点C
（1）B、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，2）
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过线段BC的中点，则k的值为多少
（3）设Q为x轴上一点，在（2）中反比例函数的图象上是否存在这样一点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出B、C两点的坐标；
（2）根据中点坐标公式求出BC的中点，代入反比例函数的解析式即可得出k的值；
（3）设Q（a，0），M（x，$\frac{3}{2x}$），再分BC、CM分别为平行四边形的对角线两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵令y=0，则x=3；令x=0，则y=2，
∴B（3，0），C（0，2）．
故答案为：（3，0），（0，2）；

（2）∵B（3，0），C（0，2），
∴线段BC的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，1）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过线段BC的中点，
∴k=$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$；

（3）存在．
∵由（2）知k=$\frac{3}{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{2x}$，
设Q（a，0），M（x，$\frac{3}{2x}$）．
如图所示，当BC为平行四边形的对角线时，$\frac{3}{2}$=$\frac{a+x}{2}$，1=$\frac{\frac{3}{2x}}{2}$，
解得a=$\frac{9}{4}$，x=$\frac{3}{4}$，
∴Q₁（$\frac{9}{4}$，0）；
当CM为对角线时，$\frac{x}{2}$=$\frac{a+3}{2}$，$\frac{2+\frac{3}{2x}}{2}$=0，解得a=-$\frac{15}{4}$，
∴Q₂（-$\frac{15}{4}$，0）．
当BC和QM是平行四边形的边时，M的纵坐标是2，
把y=2代入y=$\frac{3}{2x}$得x=$\frac{3}{4}$．即CM=$\frac{3}{4}$，
则Q的横坐标是3+$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$，则Q₃坐标是（$\frac{15}{4}$，0）
综上所述，Q点的坐标为Q₁（$\frac{9}{4}$，0），Q₂（-$\frac{15}{4}$，0），Q₃（$\frac{15}{4}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．