Question

4．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是EB，EC的中点，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析 先证明△AEB≌△DEC，从而得到BE=EC，然后由三角形中位线的性质证明EG=GF=FH=EH，从而证明四边形EGFH是菱形．

解答 解：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，AB=DC．
∵E是AD的中点，
∴AE=ED．
在△AEB和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=ED}\\{∠A=∠D}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DEC．
∴BE=EC．
∵H、F分别是BC和EC的中点，
∴HF=$\frac{1}{2}EB$．
同理：$GF=\frac{1}{2}EC$．
∵G，H分别是EB，EC的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE，EH=$\frac{1}{2}EC$．
∵BE=EC，
∴EG=GF=FH=EH．
∴四边形EGFH菱形．

点评 本题主要考查的是菱形的判定、等腰梯形的性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定，证得BE=EC是解题的关键．