Question

6．如图①，在平面直角坐标系xoy的第一象限中，有一个Rt△OAB，∠B=90°，OB=3，AB=4，点A在正半轴上，⊙I是Rt△OAB的内切圆．
①求点B的坐标．
②求内心I的坐标．
③将⊙I平移，使内心I与点B重合，如图②，点P是x轴正半轴上一点，是否存在⊙P同时与y轴、⊙B相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 ①如图①，过点B作BC⊥OA于C，在Rt△OAB中，根据勾股定理可得OA=5，根据三角形面积公式可得BC=2.4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可得OC，从而得到B（1.8，2.4）；
②如图①b，设切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，根据切线的性质可得四边形BEIF是正方形，设ID=x，则BE=BF=x，列出方程（3-x）+（4-x）=5，解得x，进一步得到I的坐标为（2，1）；
③如图②，设OP=x，分两种情况：（1）如图②a，当x为半径的⊙P与⊙B相外切时；（2）如图②b，当x为半径的⊙P与⊙B相内切时；进行讨论即可求解．

解答 ①解：如图①，过点B作BC⊥OA于C，
∵Rt△OAB，∠B=90°，OB=3，AB=4，
∴OA=5，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×BC$，
∴BC=2.4，
Rt△OBC中，OC=$\sqrt{{3^2}-{{2.4}^2}}$=1.8，
∴B（1.8，2.4）；

②解：如图①b，设切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，
则ID=IE=IF，BE=BF，OD=OE，AD=AF，且四边形BEIF是正方形，
设ID=x，则BE=BF=x，
∴OD=OE=3-x，AD=AF=4-x，
∵（3-x）+（4-x）=5，
∴x=1，
∴OD=3-1=2，
∴I（2，1）；

③如图②，设OP=x，
∵OP⊥y轴，
∴以x为半径的⊙P与y轴相切；
（1）如图②a，当x为半径的⊙P与⊙B相外切时，有PB=x+1，
作BC⊥OA于C，则BC=2.4，PC=1.8-x，
2.4²+（1.8-x）²=（x+1）²，
解得：$x=\frac{10}{7}$，
∴P（$\frac{10}{7}$，0）；
（2）如图②b，当x为半径的⊙P与⊙B相内切时，
∵AB+1=4+1=5=OA，
∴P与A点重合，
∴P（5.0）．
综上所述，P点的坐标是（$\frac{10}{7}$，0）或（5.0）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的切线性质和切线长定理进行几何证明；会运用勾股定理进行几何计算；同时考查了方程思想和分类思想的应用，综合性较强，难度较大．