Question

今年中考结束后，我与同学们交流了宁波中考数学卷的压轴题，最后我们一致认为，这道题用了一个简单而重要的数学模型“三垂直型”，其实这种“模型”大家并不陌生．
如图1，AO⊥BO且AO=BO，由点A和点B向过O点的直线作垂线，可以构成如图两个全等三角形；当这条直线绕点O旋转到直角内部时，仍然能构造出全等三角形！相信同学们认识了这个“模型”的特点后，一定能解决下面的问题：
（1）如图3，AD⊥CD，AD⊥AB，若AB=4，CD=6，BC=BE（可以借助图中的辅助线，也可以根据自己所悟，另外画辅助线），你得到阴影部分的面积是：

 

．
（2）如图4，点D是Rt△ABC的平分线任一点，连结DA，作DE⊥DA交另一边BC于点E，若DB长是4

2

，AD=DE，则四边形ABED的面积值是：

 

．
（3）如图5，点B是两个等腰直角三角形的公共顶点，连结DC和AF，若BE⊥CD交CD于E点，延长EB交AF于G点，试证明AG=GF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出△BFC≌△BHE，推出CF=EH，求出CF即可；
（2）证△AHD≌△EFD，推出DF=DH，得出正方形DFBH，求出DH长，求出四边形ABED面积=正方形DHBF面积即可；
（3）求出AF′=BE=FH，根据全等即可得出答案．

解答：
解：（1）过B作BF⊥DC于F，过E作EH⊥AB于H，
则AB=DF=4，∠BFC=∠H=∠FBH=90°
∵DC=6，
∴CF=2，
∵∠EBC=∠FBH=90°，
∴∠EBH=∠CBF，
在△BHE和△BFC中

∠EBH=∠FBC ∠H=∠BFC BE=BC

∴△BHE≌△BFC（AAS），
∴EH=CF=2，
∴阴影部分的面积是

1

2

×4×2=4，
故答案为：4；

（2）过D作DH⊥AB于H，DF⊥BE于F，
则DF=BH，∠DHA=∠DHB=∠EBA=∠DFB=90°，
∴四边形DHBF是矩形，
∵BD平分∠ABE，DF⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴四边形DHBF是正方形，
∴DH=BH=DF=BF，
∵BD=4

2

，∠DHB=90°，
∴DH=DF=BH=BF=4，
∵在△ADH和△EDF中

∠ADH=∠FDE ∠AHD=∠DFE=90° AD=DE

∴△ADH≌△EDF（AAS），
∴S_{四边形ABED}=S_△ADH+S_{四边形DHBE}=S_△FDE+S_{四边形DHBE}=S_{正方形DHBF}=4×4=16，
故答案为：16；

（3）证明：过A作AF′⊥EG于F′，过F作FH⊥EG于H，
∵∠BEC=∠ABC=∠AF′B=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABF′=90°，
∴∠ECB=∠ABF′，
在△BEC和△AF′B中

∠BEC=∠AF′B ∠ECB=∠ABF′ BC=AB

∴△BEC≌△AF′B（AAS），
∴BE=AF′，
同理FH=BE，
∴AF′=FH，
∵AF′⊥EG，FH⊥EG，
∴∠AF′G=∠H，
在△AF′G和△FHG中

∠AGF′=∠FGH ∠AF′G=∠H AF′=FH

∴△AF′G≌△FHG（AAS），
∴AG=GF．

点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．