Question

已知抛物线y=

3

2

x2+bx+c与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．
 （1）求抛物线的解析式；
 （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P到x轴的距离等于P到BC的距离．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：综合题

分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式找出顶点C坐标与对称轴方程，假设存在这样的P（1，b），使得P到x轴的距离等于P到BC的距离，由B与C坐标确定出直线BC解析式，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出满足题意P坐标即可．

解答：解：（1）将A（-1，0）和B（3，0）代入抛物线解析式得：

3 2 -b+c=0 9 3 2 +3b+c=0

，
解得：b=-

3

，c=-

3 3

2

，
则抛物线解析式为y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

；

（2）存在，理由为：
抛物线顶点C坐标为（1，-2

3

），对称轴为直线x=1，
若存在这样的P点，设P（1，b），且-2

3

＜b＜0，即P到x轴的距离为|b|，
∵B（3，0），C（1，-2

3

），
∴直线BC解析式为y-0=

-2 3 -0

1-3

（x-3），即

3

x-y-3

3

=0，
∴点P到直线BC的距离d=

| 3 -b-3 3 |

2

=

b+2 3

2

，
根据题意得：-b=

b+2 3

2

，
解得：b=-

2 3

3

，
则存在这样的P点（1，-

2 3

3

），使得P到x轴的距离等于P到BC的距离．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定抛物线解析式，二次函数的性质，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．