问题提出:求边长分别为$\sqrt{4+{a}^{2}}$.$\sqrt{1+9{a}^{2}}$.$\sqrt{9+4{a}^{2}}$三角形的面积．问题探究:为解决上述数学问题.我们采取数形结合和转化的思想方法.并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一:当a=1时.求边长分别为$\sqrt{5}$.$\sqrt{10}$.$\sqrt{13}$三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．问题提出：求边长分别为$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+9{a}^{2}}$，$\sqrt{9+4{a}^{2}}$（a为正整数）三角形的面积．
问题探究：为解决上述数学问题，我们采取数形结合和转化的思想方法，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：当a=1时，求边长分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$三角形的面积．
先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$的格点三角形△ABC（如图①）．
因为AB是直角边分别为2和1的Rt△ABE的斜边，所以AB=$\sqrt{5}$；
因为BC是直角边分别为1和3的Rt△BCF的斜边，所以BC=$\sqrt{10}$；
因为AC是直角边分别为3和2的Rt△ACG的斜边，所以AC=$\sqrt{13}$；通过面积转化，可间接求三角形△ABC的面积．
所以，S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG．

（1）直接写出图①中S_△ABC=3.5．
探究二：当a=2时，求边长分别为2$\sqrt{2}$，$\sqrt{37}$，5三角形的面积．
先画一个长方形网格（每个小长方形的长为2，宽为1），再在网格中画出边长分别为2$\sqrt{2}$，$\sqrt{37}$，5的格点三角形△ABC（如图②）．
因为AB是直角边分别为2和2的Rt△ABE的斜边，所以AB=2$\sqrt{2}$；
因为BC是直角边分别为1和6的Rt△BCF的斜边，所以BC=$\sqrt{37}$；
因为AC是直角边分别为3和4的Rt△ACG的斜边，所以AC=5，通过面积转化，可间接求三角形△ABC的面积．
所以，S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG
（2）直接写出图②中S_△ABC=7．
探究三：当a=3时，求边长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{82}$，3$\sqrt{5}$三角形的面积．

仿照上述方法解答下列问题：
（3）画的长方形网格中，每个小长方形的长应是2．
（4）边长分别为$\sqrt{13}$，$\sqrt{82}$，3$\sqrt{5}$的三角形的面积为$\frac{21}{2}$．
问题解决：求边长分别为$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+9{a}^{2}}$，$\sqrt{9+4{a}^{2}}$（a为正整数）三角形的面积．
（5）类比上述方法画长方形网格，每个小长方形的长应是a．
（6）边长分别为$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+9{a}^{2}}$，$\sqrt{9+4{a}^{2}}$（a为正整数）的三角形的面积是$\frac{7}{2}$a．

分析（1）根据图中正方形的边长为1，再利用S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG可得出结论；
（2）根据图中正方形的边长为1，再利用S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG可得出结论；
（3）根据（1）（2）中正方形的边长规律可得出结论；
（4）根据题意在网格中画出图形，同（2）的方法可得出结论；
（5）根据（2）（3）中长方形的边长规律可得出结论；
（6）根据（5）中的结论画出图形即可得出三角形的面积．

解答解：（1）由图可知，
S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG
=3×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3
=9-1-$\frac{3}{2}$-3
=3.5．
故答案为：3.5；

（2）由图可知，
S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG
=3×6-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×4×3
=18-2-3-6
=7．
故答案为7；

（3）由（2）可知，每个小长方形的长应是2．
故答案为：2；

（4）∵$\sqrt{13}$=$\sqrt{4+{3}^{2}}$，$\sqrt{82}$=$\sqrt{1+9×{3}^{2}}$，3$\sqrt{5}$=$\sqrt{9+4×{3}^{2}}$，
∴长方形的边长为3，画图如下：

∴S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG
=3×9-$\frac{1}{2}$×2×3--$\frac{1}{2}$×1×9-$\frac{1}{2}$×3×6
=27-3-9-$\frac{9}{2}$
=$\frac{21}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{2}$；

（5）由（1）、（2）、（4）可知，每个小长方形的长应是a．
故答案为：a；

（6）由（1）、（2）、（4）的规律可知，
边长分别为$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+9{a}^{2}}$，$\sqrt{9+4{a}^{2}}$（a为正整数）的三角形的面积为：
S_△ABC=S_{正方形EFCG}-S_△ABE-S_△BCF-S_△ACG
=3×3a-$\frac{1}{2}$×2×a-$\frac{1}{2}$×1×3a-$\frac{1}{2}$×3×2a
=9a-a-$\frac{3}{2}$a-3a
=$\frac{7}{2}$a．
故答案为：$\frac{7}{2}$a．