Question

4．如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3，若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′处，则图中阴影部分的面积为6π-$\frac{27}{4}$（结果保留π）

Answer 1

分析 求出∠AOA′，根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积，求出OC、DC长，求出△ODC的面积，根据：阴影部分的面积即为扇形OAA′的面积减去三角形OCD的面积计算可得．

解答 解：如图，记45°角的三角板直角顶点为D，

在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴OA=$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=6，
∴OB=OA•cos∠AOB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
由题意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA′=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3$\sqrt{3}$，
∴OD=OC•cos45°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∴S_△ODC=$\frac{1}{2}$OD²=$\frac{1}{2}$×$（\frac{3\sqrt{6}}{2}）^{2}$=$\frac{27}{4}$．
∴S_阴影=S_扇形AOA′-S_△ODC=6π-$\frac{27}{4}$，
故答案为：6π-$\frac{27}{4}$．

点评 本题主要考查扇形面积的计算、解直角三角形的能力，在求阴影部分的面积时，常常是几个规则图形面积的和或差．