Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）如果∠BAO=45°，直接写出点P的坐标；
（2）求证：点P在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，直接写出h的取值范围．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,解直角三角形的应用

专题：综合题

分析：（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．
（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．

解答：（1）解：∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PAB=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=90°，
∴四边形OAPB是正方形，
∵AB=2，由勾股定理得：PA=PB=

2

∴P点的坐标为：（

2

，

2

）．

（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
在△PBF和△PAE中，

∠FPB=∠EPA ∠PFB=∠PEA BP=AP

，
∴△PBF≌△PAE（AAS），
∴PE=PF，
∴点P在∠AOB的平分线上．

（3）解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE=h，设∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=

2

，
∴PE=PA•cosα=

2

•cosα，
又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
∴0°≤α＜45°，
∴1＜h≤

2

．

点评：本题考查了正方形的性质（四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角）以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点．