Question

3．如图，已知PA为⊙O的切线，割线PB交圆于B，C两点，连PO，AD⊥PO于D点，连接CD，BO，求证：∠PDC=∠PBO．

Answer 1

分析 连结OA，如图，根据切线的性质得∠OAP=90°，则可判断△PDA∽△PAO，利用相似比可得PA²=PD•PO，再根据切割线定理得PA²=PC•PB，所以PD•PO=PC•PB，即$\frac{PC}{PO}$=$\frac{PD}{PB}$，加上∠DPC=∠BPO，则可判断△PCD∽△POB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：连结OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵AD⊥OP，
∴∠PDA=90°，
而∠DPA=∠APO，
∴△PDA∽△PAO，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PD}{PA}$，
∴PA²=PD•PO，
∵PA为切线，AB为割线，
∴PA²=PC•PB，
∴PD•PO=PC•PB，
即$\frac{PC}{PO}$=$\frac{PD}{PB}$，
而∠DPC=∠BPO，
∴△PCD∽△POB，
∴∠PDC=∠PBO．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．