题目内容
8．（1）有2013名学生排成一行，从头起编成1，2，…，2013号，第一次从头到尾“1，2，3”报数，凡报3的学生留下，从第二次起，每次都令留下的学生从头到尾“1，2，3”报数，凡报3的学生留下，最后所有的学生都将离开，求最后离开的学生的编号是多少？（2）将上述问题中的2013名学生排在一个圆周上，依次编成1，2，…，2013号，从“1”号开始，依次“1，2，3”报数，凡报3的学生留下，最后所有的学生都将离开，求最后离开的学生的编号是多少？
分析 （1）将这些人编号从左到右为1～2013号，由于从左往右1至3报数，凡报到3的留下，则第一次报完后是留下的是3、6、9、…2012号；第二次报完后是9、18、…2007号；…，由此可以发现，第一次报完后留下的是3的倍数，第二次报完后，留下的人号码是32的倍数，因此1～2013中，哪个数的因数3最多，就是最后离开的人．729=36，是1～2013中因数3最多的一个数，所以最后离开的学生编号是729；
（2）若从一号开始，第一轮剩下的是3的倍数3，6，9，12，15，…，那么第二轮开始3报2，6报3，9报1，依次循环，得出最后剩下的数是1926．
解答 解：（1）第一轮报数后，编号剩下的都是3的倍数；第二轮报数后，编号剩下的都是9的倍数；第三轮报数后，编号剩下的都是27的倍数；…，因此最后剩下的编号是不大于2013且是3的幂的数，即最后剩下的是编号为729号学生．
（2）如果学生人数是3，剩下的号是3号；如果学生人数是9，剩下的是9号；如果学生人数是27人，剩下的是27号；…
因此，在一圈学生中，只要人数是3的幂时，剩下的必是最后一人．
现将这2013名学生进行报数，当编号为1926名学生报数后，有642×2=1284人离开了，剩下了2013-1284=729人．这时，如果从1927号学生重新从1开始编号，则1927号新编号为1，1928号新编号为2，…，2013新编号为87，3新编号为88，…，1926号新编号为729，此时再从新编号为1（即原来新编号1927）的学生进行报数，剩下的必是新编号为729号的学生，因此最好剩下的是原来编号为1926号学生．
点评 此题考查数字的变化规律，找出循环的规律，分清一排或一圈是解决问题的关键．
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