Question

10．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F．
（1）试说明OE=OF；
（2）当AE=AB时，过点E作EH⊥BE交AD边于H，找出与△AHE全等的一个三角形加以证明，
（3）在（2）的条件下若该正方形边长为1，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出AC⊥BD，OA=OB，求出∠FAO=∠EBO，根据ASA推出△AFO≌△BEO即可；
（2）根据正方形性质得出∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，求出∠CBE=∠AEH，AE=AB=BC，证△BCE≌△EAH；
（3）根据全等三角形的性质推出CE=AH，即可得出答案．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOF=∠BOE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠FGB=90°，
∴∠OBE+∠BFG=90°，∠FAO+∠AFO=90°，
∵∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠EBO，
在△AFO和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠EBO}\\{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．


（2）△BCE≌△EAH，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，
∵EH⊥BE，
∴∠AEH+∠AEB=90°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠CBE=∠AEH，
∵AE=AB=BC，
在△BCE和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠ECB}\\{AE=BC}\\{∠AEH=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△EAH（ASA）；

（3）解：∵△BCE≌△EAH，
∴CE=AH，
∵AB=BC=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∵AE=AB=1，
∴AH=CE=AC-AE=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．