如图.一次函数的图象y=-x+4交y轴于点A.交x轴于点B.点C与点B关于y轴对称.点P在射线AB上运动.连接CP与y轴交于点D.连接BD.过P.D.B三点作⊙Q.与y轴的另一个交点为E.延长DQ交⊙Q于点F.连接EF.BF．(1)求点A.B.C的坐标,(2)试说明当点P在射线AB上运动时.△DEF始终是等腰直角三角形,(3)请你探究:点P在运动过程中.说法存在这样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，一次函数的图象y=-x+4交y轴于点A，交x轴于点B，点C与点B关于y轴对称，点P在射线AB（不包括A，B两点）上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）试说明当点P在射线AB（不包括A，B两点）上运动时，△DEF始终是等腰直角三角形；
（3）请你探究：点P在运动过程中，说法存在这样的⊙Q，其圆心恰好在x轴上？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）分别令x和y等于0求得对应的y和x的值，可求得A和点B的坐标，然后依据轴对称的性质可求得点C的坐标；
（2）当点P在AB上时，连结EP．首先可证明△AOB为等腰直角三角形，然后再证明∠ADP=∠BPE，然后依据三角形的外角的性质可证明∠DPE=∠DAP=45°，依据圆周角定理可求得∠DFE=45°，∠DEF=90°；当点P在AB的延长线上时，连结BE．同理可证明∠DFE=45°．，∠DEF=90°；
（3）先证明△DOQ为等腰直角三角形，则设DQ=a，则QB=$\sqrt{2}$a，然后根据OQ+BQ=4，可求得a的值，然后可求得CD的解析式，接下来再求得直线AB与直线CD的交点坐标即可．

解答解：（1）令x=0得：y=4，
∴点A的坐标为（0，4）．
令y=0得：-x+4=0，解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
∵点C与点B关于y轴对称，
∴点C（-4，0）．
（2）如图1所示：连结EP．

∵点B的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，4），
∴OA=OB．
∴∠OAB=45°．
∵点B与点C关于y轴对称，
∴∠CDO=∠BDO．
又∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP．
又∵∠BDE=∠BPE，
∴∠ADP=∠BPE．
∵∠DAP+∠ADP=∠DPE+∠BPE=∠DPB，
∴∠DPE=∠DAP=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF为⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．
如图2所示：连结BE．

∵点B与点C关于y轴对称，
∴∠ADB=∠ADC．
又∵∠ADC=∠EDP，∠DEP=∠EBP，
∴∠ADB=∠EBP．
∵∠ADB+∠DAB=∠BEP+∠DBE，
∴∠DBE=∠DAB=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF为⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（3）如图3所示：

由（2）可知△DEF为等腰直角三角形，则∠EDF=45°．
∵∠DOB=90°，∠DOQ=45°，
∴△DOQ为等腰直角三角形．
∴OD=OQ．
设DO=OQ=a，则QD=$\sqrt{2}$a，则QB=QD=$\sqrt{2}$a．
∵OQ+BQ=4，
∴a+$\sqrt{2}a$=4，解得：a=4$\sqrt{2}$-4．
设CD的解析式为y=kx+4$\sqrt{2}$-4．将点C的坐标代入得：-4k+4$\sqrt{2}$-4=0，解得k=$\sqrt{2}$-1．
∴直线CD的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x+4$\sqrt{2}$-4．
将y=-x+4与y=（$\sqrt{2}$-1）x+4$\sqrt{2}$-4联立，解得x=4$\sqrt{2}$-4，y=8-4$\sqrt{2}$．
∴点P的坐标为（4$\sqrt{2}$-4，8-4$\sqrt{2}$）．