Question

13．如图，一艘货船以每小时48海里的速度从港口B出发，沿正北方向航行．在港口B处时，测得灯塔A处在B处的北偏西37°方向上，航行至C处，测得A处在C处的北偏西53°方向上，且A、C之间的距离是45海里．在货船航行的过程中，求货船与灯塔A之间的最短距离及B、C之间的距离；若货船从港口B出发2小时后到达D，求A、D之间的距离．
（参考数据：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）过点A作AO⊥BC，垂足为O．先解Rt△ACO中，求出CO=AC•cos53°≈45×$\frac{3}{5}$=27，AO=AC•sin53°≈45×$\frac{4}{5}$=36．再解Rt△ABO，得到∠OAB=90°-37°=53°，BO=AO•tan53°≈36×$\frac{4}{3}$=48，那么BC=BO-CO=48-27=21海里；
（2）先根据路程=速度×时间求得BD=48×2=96，那么OD=BD-BO=96-48=48．然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{3{6}^{2}+4{8}^{2}}$=60海里．

解答 解：（1）过点A作AO⊥BC，垂足为O．
在Rt△ACO中，∵AC=45，∠ACO=53°，
∴CO=AC•cos53°≈45×$\frac{3}{5}$=27，
AO=AC•sin53°≈45×$\frac{4}{5}$=36．
在Rt△ABO中，∵AO=36，∠OAB=90°-37°=53°，
∴BO=AO•tan53°≈36×$\frac{4}{3}$=48，
∴BC=BO-CO=48-27=21，
∴货船与灯塔A之间的最短距离是36海里，B、C之间的距离是21海里．
（2）∵BD=48×2=96，
∴OD=BD-BO=96-48=48．
在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{3{6}^{2}+4{8}^{2}}$=60，
∴A、D之间的距离是60海里．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．