Question

11．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②．
请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDFE是平行四边形；
（3）如图①，若AC⊥AD，AB平分∠CAD，∠C=30°，求证：AD=BC．

Answer 1

分析 （1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；
（2）由于四边形ABDF是菱形，则AB∥DF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB∥CE，且AB=CE，所以CE∥FD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据AC⊥AD，AB平分∠CAD，得到∠CAB=∠DAB=45°．又由AB=BD，从而判定△ABD是等腰直角三角形．根据勾股定理得到AD²=2AB²．…①过点B作BP⊥AC于点P，利用∠C=30°，得到PB=$\frac{1}{2}$BC，所以PB²=$\frac{1}{4}$BC²，在Rt△ABP中，∠BAC=45°，根据勾股定理AB²=2PB²=2×$\frac{1}{4}$BC²=$\frac{1}{2}$BC²．…②由①②可得$A{D}^{2}=2A{B}^{2}=2×\frac{1}{2}B{C}^{2}=B{C}^{2}$，所以得到AD=BC．

解答 解：（1）四边形ABDF是菱形．
理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180° 得到△DFA，
∴AB=DF，BD=FA．
∵AB=BD，
∴AB=BD=DF=FA．
∴四边形ABDF是菱形．
（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB∥DF，且AB=DF．
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180° 得到△CEA，
∴AB=CE，BC=EA．
∴四边形ABCE为平行四边形．
∴AB∥CE，且AB=CE．
∴CE∥DF，CE=DF．
∴四边形CDFE是平行四边形．
（3）∵AC⊥AD，AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB=45°．
又∵AB=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD²=2AB²．…①
如图①，过点B作BP⊥AC于点P．

∵∠C=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}$BC．
∴PB²=$\frac{1}{4}$BC²．
在Rt△ABP中，∠BAC=45°，
∴AB²=2PB²=2×$\frac{1}{4}$BC²=$\frac{1}{2}$BC²．…②
由①②可得$A{D}^{2}=2A{B}^{2}=2×\frac{1}{2}B{C}^{2}=B{C}^{2}$
∴AD=BC．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定，在（3）中作出辅助线构建直角三角形是解决问题的关键．