Question

19．设方程甲：x²-2x-m=0无实根，则判断方程乙：x²+2mx+1+2（m²-1）（x²+1）=0的根的情况是无实数根．

Answer 1

分析 首先根据已知方程无实数根，得△＜0，求得m的取值范围，再进一步求出新的方程中△的值，与0比较即可．

解答 解：∵x²-2x-m=0无实根，
∴△=4+4m＜0，
即m＜-1．
将方程x²+2mx+1+2（m²-1）（x²+1）=0化为一般形式是：（2m²-1）x²+2mx+2m²-1=0，
∵m＜-1，
∴2m²-1≠0，
∵△=4m²-4（2m²-1）²=4（m+2m²-1）（m-2m²+1）=4（m+1）（2m-1）（-m+1）（2m+1），
∴m+1＜0，-m+1＞0，2m-1＜0，2m+1＜0，
∴△＜0，
∴该方程无实数根．
故答案为无实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．