Question

13．已知a，b为正实数，试比较$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的大小．

Answer 1

分析 先将两个代数式作差，将（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）化简变形后，根据所得结果的符号，即可得出大小关系．

解答 解：作差，得：
（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）
=（$\frac{a}{\sqrt{b}}$-$\sqrt{b}$）+（$\frac{b}{\sqrt{a}}$-$\sqrt{a}$）
=$\frac{a-b}{\sqrt{b}}$+$\frac{b-a}{\sqrt{a}}$
=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{\sqrt{ab}}$
∵a、b为正实数
∴$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{\sqrt{ab}}$≥0
∴$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$

点评 题主要考查用作差法比较实数的大小，将所得式子变形是解题的关键和难点．实数大小的比较有多种方法，需要灵活选用．